Video Thumbnail

Вся геометрия за 45 минут | Геометрия 7-9 классы

Дядя Артем | Математика ОГЭ | 100балльный45:34
https://www.youtube.com/watch?v=zjsTFN2DrBk

Содержание

Краткое резюме

В этом материале кратко и последовательно изложены ключевые темы школьной геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзамену ОГЭ по математике. Рассмотрены основные понятия и свойства углов, треугольников, четырехугольников, параллельных прямых, окружностей, а также важные теоремы с практическими примерами. Особое внимание уделено признакам равенства и подобия треугольников, а также свойствам различных видов четырехугольников и прямоугольного треугольника с теоремой Пифагора и тригонометрическими соотношениями.

Углы: виды и свойства

В геометрии важно знать основные виды углов: острые (<90°), прямые (=90°) и тупые (>90°).
Основные свойства углов:

  • Смежные углы — два угла, образующие прямую линию, сумма которых равна 180°.
  • Вертикальные углы — углы, образованные при пересечении двух прямых, которые равны друг другу.

«Вертикальные углы равны» — одно из важнейших базовых свойств.

Виды треугольников и их свойства

Основные виды треугольников

  • Остроугольный — все углы острые
  • Прямоугольный — один угол равен 90°
  • Тупоугольный — один угол больше 90°
  • Равнобедренный — две стороны равны
  • Равносторонний — все стороны равны, каждый угол 60°

Свойства равнобедренного треугольника

  • Углы при основании равны
  • Медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой

Свойства равностороннего треугольника

  • Все стороны и углы равны (по 60°)
  • Все медиана, биссектриса и высота, проведённые к любой стороне, совпадают

Определения

  • Медиана — отрезок, делящий сторону на две равные части
  • Биссектриса — луч, делящий угол пополам
  • Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или её продолжение

Равенство треугольников: три признака

Для доказательства равенства треугольников не нужно показывать равенство всех сторон и углов, достаточно одного из трех признаков:

  1. Две стороны и угол между ними равны
  2. Одна сторона и два прилежащих к ней угла равны
  3. Все три стороны равны

«Если два треугольника удовлетворяют хотя бы одному признаку, то они равны полностью.»

Параллельные прямые: признаки

Для доказательства параллельности прямых используются свойства углов при их пересечении с секущей:

  • Накрест лежащие углы равны → прямые параллельны
  • Соответственные углы равны → прямые параллельны
  • Сумма односторонних углов равна 180° → прямые параллельны

Эти признаки работают и в обратную сторону — если прямые параллельны, то описанные углы обладают соответствующими свойствами.

Четырёхугольники: основные типы и свойства

Параллелограмм

  • Противоположные стороны параллельны и равны
  • Противоположные углы равны
  • Диагонали пересекаются и делятся пополам

Прямоугольник

  • Все свойства параллелограмма
  • Все углы равны 90°
  • Диагонали равны

Квадрат

  • Все свойства параллелограмма и прямоугольника
  • Все стороны равны

Ромб

  • Все свойства параллелограмма
  • Все стороны равны
  • Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов

Трапеция

  • Четырёхугольник с двумя параллельными сторонами — основаниями
  • Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна полусумме оснований
  • В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, а углы при основаниях равны

Прямоугольный треугольник: ключевые понятия и теоремы

  • Один угол равен 90°
  • Катеты — стороны, формирующие прямой угол
  • Гипотенуза — сторона, противоположная прямому углу
  • Теорема Пифагора:

    «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы»

  • Свойство угла в 30°: катет напротив него равен половине гипотенузы
  • Основы тригонометрии (синус, косинус, тангенс, котангенс):
    • Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе
    • Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе
    • Тангенс — отношение синуса к косинусу, или противолежащего к прилежащему катету
    • Котангенс — обратная величина тангенса

Подобие треугольников и признаки подобия

Подобные треугольники сохраняют равенство углов, а соответствующие стороны пропорциональны. Существуют три признака подобия:

  1. Равенство двух углов
  2. Равенство одного угла и пропорциональность двух сторон
  3. Пропорциональность всех трёх сторон

«Первый признак – наиболее распространённый и удобный для доказательства подобия.»

Углы в окружности

  • Центральный угол равен дуге, на которую он опирается
  • Вписанный угол равен половине дуги
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой (90°)
  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны

Касательные к окружности

  • Касательная касается окружности в одной точке
  • Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной
  • Внешние отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны

Вписанные и описанные четырёхугольники

  • Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°
  • Четырёхугольник описан около окружности, если суммы противоположных сторон равны

Основные теоремы 9 класса

Теорема синусов

Для любого треугольника:
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]
где (a, b, c) — стороны треугольника, а (A, B, C) — углы, им противолежащие.

Теорема косинусов

Для стороны (a = BC):
[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A ]
где (b, c) — другие стороны, а (A) — угол между ними.

Итоги

Данный обзор покрывает весь необходимый минимум по геометрии 7–8 классов, а также ключевые моменты из 9 класса.
Знание этих тем позволит качественно подготовиться к экзаменам и решать стандартные задачи с доказательствами и вычислениями.

«Твердые знания признаков равенства и подобия треугольников, свойств углов и фигур — ключ к успешной математике.»

📐🔺📏